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Download Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die by Kurt-Ulrich Witt PDF

By Kurt-Ulrich Witt

ISBN-10: 3658040742

ISBN-13: 9783658040741

ISBN-10: 3658040750

ISBN-13: 9783658040758

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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Dann gibt es r, s ∈ Z mit x = a sowie y = a . Dann ist −1 r −s r−s x ∗ y = a ∗ a = a ∈ a , da r − s ∈ Z ist. r s d) Ist die Ordnung von a unendlich, dann ist a = a f¨ur r = s. Daraus folgt, dass a unendliche viele Elemente besitzt, also unendliche Ordnung hat. 2 a) a G und s ∈ N0 mit 0 ≤ s < ordG (a). ,a womit die Behauptung gezeigt ist. 13 Sei G = (M, ∗) eine Gruppe mit U1 , U2 ⊆ G. h. der Durchschnitt von zwei Untergruppen von G bildet stets wieder eine Untergruppe von G. 14 (1) Es sei Z = (Z, +) die additive Gruppe der ganzen Zahlen.

16! 20! 2 sind wir kurz darauf eingegangen, dass die Betrachtungen zum gr¨oßten gemeinsamen Teiler von zwei auf mehr als zwei ganzen Zahlen verallgemeinert werden k¨onnen. Analog gilt das auch f¨ur das kleinste gemeinsame Vielfache. Eine verallgemeinerte Definition lautet wie folgt: c ∈ N0 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a1 , . . , ak ∈ Z genau dann, wenn (1) gilt ai |c, 1 ≤ i ≤ k, und (2), wenn ai |c , 1 ≤ i ≤ k gilt, dann muss c|c sein. ✷ Gruppen 31 2 Gruppen Rechenstrukturen sind uns aus Schule und t¨aglichem Leben bekannt: Wir lernen dort bzw.

6} ¨ auf. Uberlegen Sie, dass die so entstehende Rechenstruktur eine abelsche Gruppe bildet! Geben Sie zu jedem Element das Inverse an! Welche Ordnung hat die Gruppe? Gegeben Sie die Ordnungen aller Elemente an! Geben Sie eine Untergruppe mit zwei Elementen, eine mit drei Elementen an! 7 Die Funktionen id , nid , rez , nrez : R − {0} → R − {0} seien definiert durch: id (x) = x, nid (x) = −x, rez (x) = x1 sowie nrez (x) = − x1 . h. geben Sie die Verkn¨upfungstafel f¨ur die Struktur ({ id , nid , rez , nrez }, ◦) an.

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